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Définition
\(\triangleright\) Définition d'une matrice de passage:
Soit \(P\) la matrice \(Id_E\) et \(Q\) la matrice \(Id_F\) dans les bases \(\mathcal B'_E\), \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B'_F\), \(\mathcal B_F\).
On appelle \(P\) la Matrice de passage de \(\mathcal B'_E\) à \(\mathcal B_E\). De même pour \(Q\)
\(\triangleright\) Matrice de passage
La matrice de passage s'établit en écrivant les vecteurs de la base d'arrivée \(B'(v_1,v_2,v_3)\) en fonction de la base de départ \(B(e_1,e_2,e_3)\)
$$\begin{pmatrix} v_1\quad v_2\quad v_3\quad \\ .\quad .\quad .\quad e_1\\ . \quad .\quad .\quad e_2\\ .\quad .\quad . \quad e_3\end{pmatrix}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Remarque
Les Matrice de passage sont inverssibles et leur inverse \(P^{-1}\) représente l'application \(Id_E\) dans les bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B'_E\)
\(\triangleright\) Théorème
Soit la matrice \(M\) d'une application linéaire de \(E\rightarrow F\) dans les bases \(\mathcal B_E\) et\(\mathcal B_F\) qui forme 2 nouvelles bases \(\mathcal B'_E\) et\(\mathcal B'_F\).
Avec \(Q\) et \(P\) les Matrice de passage respectives de \(\mathcal B'_F\) à \(\mathcal B_F\) et \(\mathcal B'_E\) à \(\mathcal B_E\).
Alors, la matrice \(M'\) de \(f\) dans les base \(\mathcal B'_F\) et \(\mathcal B'_E\) vaut \(Q.M.P\)
\(\longrightarrow\) Démonstration: Pasted image 20220308095512.png
Matrices de passage en mécanique quantique
Matrice de changement de base en mécanique quantique 
